La conjecture de Poincaré à Bascan

Vendredi 23 janvier 2015, de 15h50 à 17h45, en D104, s’est déroulé un cours de maths extra-ordinaire.
23 élèves de Terminale S et de Première S ainsi que leurs professeurs de mathématiques (pour une fois de l’autre côté du bureau) s’étaient donné rendez-vous pour venir écouter Nicolas Pouyanne, enseignant-chercheur en mathématiques à l’UVSQ.
Après deux heures d’explications, de schémas, d’exemples, de contre-exemples, de collages et découpages, le défi était relevé : la conjecture de Poincaré n’avait plus de secret pour nous….ou presque….

Très méthodiquement, Nicolas Pouyanne s’est attaché à nous initier à quelques rudiments de topologie en évoquant la notion d’homéomorphisme, et d’objets homéomorphes, puis il a fallu nous expliquer ce qu’est une variété, en s’appuyant sur la notion de continuité et de voisinage d’un point.

Ensuite est arrivée la notion de variété compacte comme le cercle, la sphère et le tore.

Le cours a alors pris l’allure d’une séance de travaux manuels lorsqu’il a fallu saisir la notion d’orientabilité : la bande de Möbius a alors subi quelques découpages en règle pour nous aider à comprendre qu’elle n’est pas orientable et qu’elle n’est pas homéomorphe à un cylindre. Et alors, avec beaucoup d’imagination, nous avons tenté de nous représenter la bouteille de Klein, ou le plan projectif réel.

Pour la simple complexité, il a suffi de dessiner des lacets sur les surfaces et s’imaginer les réduire à un point tout en restant sur la surface en question.

Nous avions alors toutes les définitions pour comprendre la conjecture que Poincaré a émise en 1904 : « Toute variété compacte simplement connexe est homéomorphe à une sphère en dimension supérieure ou égale à 4. »

En 2000, cette affirmation n’avait toujours pas été démontrée ou réfutée. Elle alla rejoindre les problèmes du prix du millénaire de l’Institut Clay.

Grigori Perelman la démontre en 2003 en mettant à la disposition de tous sur internet ses découvertes, il a fallu attendre 2006 pour que sa démonstration soit validée. Il faut savoir que ce chercheur a refusé la médaille Fields ainsi que le million de dollars du prix Clay.

Encore une fois Nicolas Pouyanne a su déployer des trésors d’ingéniosité et de pédagogie pour nous préparer à aller écouter à la B.N.F. la conférence de Gérard Besson « De Poincaré à Perelman : une épopée mathématique du 20ième siècle » le 11 février 2015.

Nous l’en remercions très chaleureusement, et espérons de tout cœur qu’il accepte à nouveau de venir faire une intervention à Bascan l’an prochain.

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